Le modèle Lattice-gas

Le modèle du gaz sur réseau est une extension du modèle d'Ising. Ce modèle suppose un réseau multidimensionnel (3 dimensions dans notre cas) comprenant N sites caractérisés par un nombre d'occupation $n_{i}$ (absence (0) ou présence (1) d'une particule sur le site $i$) ainsi qu'une impulsion $\overrightarrow{p_{i}}$. La donnée des N nombres d'occupation et impulsions associées définit une configuration microscopique $\{n\}$. Le Hamiltonien que nous utilisons dans nos simulations s'écrit de la façon suivante:

$$H(\{n\})=-\frac{\epsilon}{2}\sum_{i \ne j}^{N}n_{i}n_{j}+\sum_{k=1}^{N} n_{i}\overrightarrow{p_{i}}^{2}$$

La première somme traduit une interaction attractive constante entre plus proches voisins sur le réseau (6 au maximum en 3 dimensions). Le paramètre $\epsilon$ peut être vu comme la profondeur du puits de potentiel d'une interaction générique à courte portée. Cette première somme est responsable de la cohésion du système et joue un rôle de première importance. La deuxième somme prend en compte l'agitation du système à travers l'impulsion des particules du réseau donnant ainsi des degrés de liberté supplémentaires au système. Cette agitation contribue à la dissociation du système en fragments. Les fragments sont identifiés à l'intérieur de chaque configuration microscopique par un algorithme de reconnaissance du type Coniglio-Klein [1]. L'observation du système consiste ensuite à évaluer des observables pertinentes calculées sur un état microscopique du système.

Table 1: Tableau récapitulant les propriétés des ensembles statistiques utilisés.

Distribution statistique	Grand Canonique	Canonique
Multiplicateurs de Lagrange	$\mu,T$	$T$
Lois de conservation	$<N>,<E>$	$N,<E>$
Distribution de probabilité	$P_{n}=\frac{1}{Z_{\mu,\beta}} e^{-\beta(H_{n}-\mu N_{n})}$	$P_{n}=\frac{1}{Z_{\beta}} e^{-\beta H_{n}}$